5-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2005 жыл

Бүтін $n \geq 2$ саны үшін дәлелдеңіз: $({{1}^{n-1}}+{{2}^{n-1}}+\ldots +{{(n-1)}^{n-1}})+1$ саны $n$-ға қалдықсыз бөлінуі үшін $n$-нің әрбір жай $p$ бөлгіші үшін $p$ санының $\dfrac{n}{p}-1$ санын бөлуі және ${p - 1}$ санының $\dfrac{n}{p}-1$ санын бөлуі қажет және жеткілікті.