2-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2002 жыл

Пусть $n$ натуральное число $n > 2$ и $a_1,a_2,\dots,a_n \in \mathbb{R}^+$ — положительные действительные числа. Даны произвольные натуральные числа $t$, $k$, $p$, причем $1 < t < n$, положим также $m=k+p$. Докажите следующие неравенства: \[1) \quad \frac{{a_1^p}}{{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k}} + \frac{{a_2^p}}{{a_3^k + a_4^k + \cdots + a_{t + 1}^k}} + \cdots + \frac{{a_{n - 1}^p}}{{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t - 2}^k}} + \frac{{a_n^p}}{{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t - 1}^k}} \ge \frac{{{{(a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p)}^2}}}{{(t - 1)(a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m)}}\] \[2) \quad \frac{{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k}}{{a_1^p}} + \frac{{a_3^k + a_4^k \cdots + a_{t + 1}^k}}{{a_2^p}} + \cdots + \frac{{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t - 2}^k}}{{a_{n - 1}^p}} + \frac{{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t - 1}^k}}{{a_n^p}} \ge \frac{{(t - 1){{(a_1^k + a_2^k + \cdots + a_n^k)}^2}}}{{a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m}}\]

Комментарий/решение

$1)$ Умножьте каждую дробь на $a_i^p$ сверху и снизу и юзаните КБШ, должно выйти.