Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2009-2010 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. 9420.
Решение. Раскрасим вершины куба в два цвета так, чтобы концы каждого ребра были разноцветными. Пусть в вершинах одного цвета стоят числа a1,a2,a3,a4, а в вершинах другого — числа b1,b2,b3,b4, причём числа с одинаковыми номерами стоят в противоположных вершинах. Тогда, как легко проверить, указанная в условии сумма произведений будет равна (a1+a2+a3+a4)(b1+b2+b3+b4)−(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4). По неравенству о средних
(a1+a2+a3+a4)(b1+b2+b3+b4)≤(a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4)2/4=(12+22+⋯+82)2/4=10404,
причём равенство достигается только при
a1+a2+a3+a4=b1+b2+b3+b4.(1)
С другой стороны, сумма a1b1+a2b2+a3b3+a4b4, где ai и bi — числа 12,22,…,82, минимальна тогда, когда 82 умножается на 12, 72 — на 22, 62 — на 32, 52 — на 42(2). В самом деле, пусть 82 умножается на a2≠12, а 12 — на b2. Понятно, что умножив 82 на 12, а a2 — на b2, мы уменьшим сумму a1b1+a2b2+a3b3+a4b4. Затем аналогично показываем, что мы уменьшим сумму, умножив 72 на 22, и т.д.
Как ни удивительно, можно добиться одновременного выполнения условия максимальности (1) и условия минимальности (2): для этого надо в вершины одного цвета поставить числа 12, 42, 62 и 72, а в вершины другого — остальные таким образом, чтобы 82 и 12, 72 и 22, 62 и 32, 52 и 42 стояли в противоположных вершинах. Понятно, что такая расстановка и даст искомый максимум сумм произведений, равный (12+42+62+72)2−(82⋅12+72⋅22+62⋅32+52⋅42)=1022−984=9420.
Замечание. Тот факт, что числа 12,22,…,82 можно разбить на две группы по 4 числа с равными суммами чисел, не случаен. Заметим, что (n+1)2−n2=2n+1, поэтому ((n+3)2−(n+2)2)−((n+1)2−n2)=(2n+5)−(2n+1)=4 при любом n. Отсюда (12−22−32+42)−(52−62−72+82)=12−22−32+42−52+62+72−82=4−4=0.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.