Processing math: 100%

Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2009-2010 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры


Кубтың төбелеріне 12, 22, , 82 сандарын қойып шықты (әр төбесіне бір саннан). Әр қабырғасына оның аяғы жағындағы сандардың көбейтіңдісін жазды. Бұл көбейтіңділердің мүмкін болатын ең үлкен қосындысын табыңыз. ( Д. Фон-дер-Флаасс )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 9420.
Решение. Раскрасим вершины куба в два цвета так, чтобы концы каждого ребра были разноцветными. Пусть в вершинах одного цвета стоят числа a1,a2,a3,a4, а в вершинах другого — числа b1,b2,b3,b4, причём числа с одинаковыми номерами стоят в противоположных вершинах. Тогда, как легко проверить, указанная в условии сумма произведений будет равна (a1+a2+a3+a4)(b1+b2+b3+b4)(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4). По неравенству о средних (a1+a2+a3+a4)(b1+b2+b3+b4)(a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4)2/4=(12+22++82)2/4=10404, причём равенство достигается только при a1+a2+a3+a4=b1+b2+b3+b4.(1) С другой стороны, сумма a1b1+a2b2+a3b3+a4b4, где ai и bi — числа 12,22,,82, минимальна тогда, когда 82 умножается на 12, 72 — на 22, 62 — на 32, 52 — на 42(2). В самом деле, пусть 82 умножается на a212, а 12 — на b2. Понятно, что умножив 82 на 12, а a2 — на b2, мы уменьшим сумму a1b1+a2b2+a3b3+a4b4. Затем аналогично показываем, что мы уменьшим сумму, умножив 72 на 22, и т.д.
Как ни удивительно, можно добиться одновременного выполнения условия максимальности (1) и условия минимальности (2): для этого надо в вершины одного цвета поставить числа 12, 42, 62 и 72, а в вершины другого — остальные таким образом, чтобы 82 и 12, 72 и 22, 62 и 32, 52 и 42 стояли в противоположных вершинах. Понятно, что такая расстановка и даст искомый максимум сумм произведений, равный (12+42+62+72)2(8212+7222+6232+5242)=1022984=9420.
Замечание. Тот факт, что числа 12,22,,82 можно разбить на две группы по 4 числа с равными суммами чисел, не случаен. Заметим, что (n+1)2n2=2n+1, поэтому ((n+3)2(n+2)2)((n+1)2n2)=(2n+5)(2n+1)=4 при любом n. Отсюда (122232+42)(526272+82)=122232+4252+62+7282=44=0.