Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2009-2010 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Барлық жай сандарды өсу ретімен нөмерлейік: $p_1=2$, $p_2=3$, $\ldots$. Мына арифметикалық орта $(p_1+ \ldots +p_n)/n$, қандай да бір $n \geq 2$ мәніңде жай сан бола ала ма? ( С. Волчёнков )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет.
Решение. Пусть $(p_1+ \dots +p_n)/n = q \Leftrightarrow p_1+ \dots +p_n = nq (*)$, где $q$ — простое число. Очевидно, если $n > 1$, то $q > 2$. Поэтому при чётном $n$ левая часть равенства $(*)$ нечётна, а правая — чётна, при нечётном $n$ — наоборот. Следовательно, такое равенство невозможно.
Замечание. Фактически мы доказали более сильное утверждение: среднее арифметическое не может быть никаким нечетным числом.