Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, II тур заключительного этапа

По окружности записали красным пять несократимых дробей с нечетными знаменателями, большими $10^{10}$. Между каждыми двумя соседними красными дробями вписали синим несократимую запись их суммы. Могло ли случиться, что у синих дробей все знаменатели меньше 100? ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Не могло.
Решение 1. Предположим противное. Пусть $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ — исходные дроби в порядке их следования по кругу, и знаменатель числа $a_1$ больше $10^{10}$. Заметим, что $2a_1 = (a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+a_1) - (a_2+a_3) - (a_4+a_5)$. Последнее выражение есть алгебраическая сумма пяти дробей со знаменателями, не превосходящими 100. Очевидно, знаменатель в несократимой записи суммы не превосходит произведения знаменателей в несократимой записи слагаемых. Значит, знаменатель в несократимой записи $2a_1$ не больше $100^5 = 10^{10}$. С другой стороны, поскольку знаменатель $a_1$ нечётен, он равен знаменателю числа $2a_1$. Итак, он тоже не больше $10^{10}$ — противоречие.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Снова обозначим наши числа $a_1, \dots , a_5$. Пусть $q$ — наименьшее общее кратное их знаменателей в несократимой записи, и $a_i = b_i/q$. Положим также $s_i = a_i+a_{i+1}$ (считая $a_6 = a_1$). Очевидно, $q > 10^{10}$. Пусть $p$ — один из делителей числа $q$, причем $q$ делится на $p^k$, но не на $p^{k+1}$. Покажем, что один из знаменателей в несократимых записях чисел $s_i$ делится на $p^k$. Допустим, знаменатели чисел $s_i$ не делятся на $p^k$. Тогда все $b_i+b_{i+1}$ делятся на $p$. Поскольку одно из чисел $b_i$ не делится на $p$, то и ни одно из них не делится, поскольку $b_1 \equiv - b_2 \equiv b_3 \equiv - b_4 \equiv b_5 \equiv - b_1 \pmod p$. Но отсюда следует также, что $2b_1$ делится на $p$, а этого не может быть, поскольку $p$ нечётно. Из оказанного следует, что произведение знаменателей чисел $s_i$ делится на $q$; но тогда оно больше $10^{10}$, а, значит, один из сомножителей больше 100.