Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2011-2012 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

$2012 \times 2012$ тақтасының әр шаршысына нөл немесе бір саны жазылған, және де әр қатарда да, бағанда да нөл саны да, бір саны да бар. Екі қатардан және екі бағаннан құралған тіктөртбұрыштың бір диагоналінің соңында нөлдер, екіншісінде бірліктер болатындай екі қатар мен екі бағана табылатының дәлелде. ( И. Рубанов, методкомиссия )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Рассмотрим строку $C_1$, в которой больше всего единиц. В ней есть клетка $X$, в которой стоит нуль, а в столбце, где стоит клетка $X$ — клетка $Y$, в которой стоит единица. Если в строке $C_2$, где стоит клетка $Y$, под какой-то единицей строки $C_1$ стоит нуль, то все доказано: искомыми строками будут $C_1$ и $C_2$, а столбцами — тот, где стоят клетки $X$ и $Y$, и тот, где под единицей в $C_1$ стоит нуль в $C_2$. Если же под каждой единицей строки $C_1$ в строке $C_2$ тоже стоит единица, то в строке $C_2$ больше единиц, чем в строке $C_1$, что противоречит выбору строки $C_1$.