Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2012-2013 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Гандбол ойынында жеңіске 2 ұпай, тең ойынға 1 ұпай, ал жеңіліске 0 ұпай беріледі. Турнирға 14 гандбол командалары қатысып, әр команда басқа командамен бір реттен ойнаған. Турнир соңында ешқандай екі команда бірдей ұпай жинамағаны белгілі. Алғашқы үштіктегі әр команда, соңғы үштіктегі әр командаға жеңілуі мүмкін бе? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Не могло.
Решение. Пусть могло. Покажем, что лучшая из трех последних команд набрала не меньше 9 очков. В самом деле, три последних команды в играх между собой разыграли 6 очков, да ещё 18 очков отобрали у трех первых. Поэтому вместе они набрали не меньше 24 очков, и если каждая из них набрала не больше 8 очков, то все три набрали ровно по 8 очков, что противоречит условию задачи. Аналогичным рассмотрением очков, потерянных первыми тремя командами, доказывается, что худшая из трех первых команд потеряла не меньше 9 очков, то есть набрала не больше $26 -9 = 17$ очков. Получается, что каждая из восьми команд, занявших места с 11-го по 4-ое, набрала не меньше 10 и не больше 16 очков. Но в этом промежутке только 7 целых чисел, и выходит, что какие-то две команды набрали поровну очков. Противоречие.