Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2013-2014 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Петя мен Вася бір уақытта өз калькуляторларына нөлге тең емес бірдей бүтін санды жазды. Содан кейін Петя әр минут сайын өз санын немесе 10-ға үлкейтіп отырған, немесе 2014-ке көбейтіп отырған; сол уақытта, бірінші жағдайда Вася өз санын 10-ға кемітіп, екінші жағдайда 2014-ке бөліп отырған. Бірнеше уақыттан кейін Петя мен Васяның сандары қайтадан бірдей болуы мүмкін бе? ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Да, так могло оказаться.
Решение. Допустим, последним действием перед тем, как числа снова стали равными, Петя умножал на 2014, а Вася делил. Тогда перед этим Петино и Васино числа были отрицательными, и модуль Васиного числа было в $2014^2$ раз больше модуля Петиного. Пусть эти два числа были получены из одного и того же исходного числа $n$ повторенной $k $ раз операцией «Петя прибавляет 10, Вася вычитает 10». Это означает, что $n -10k = 20142(n+10k) \Leftrightarrow 10 \cdot (2014^2+1)k = (1 - 2014^2)n$. Полагая, например, $n = -10 \cdot (2014^2+1) $, получаем, что, начав с такого числа $n$, Петя и Вася могли снова уравнять свои числа, совершив сначала $2014^2 -1$ операций «Петя прибавляет 10, Вася вычитает 10», а потом одну операцию «Петя умножает на 2014, Вася делит на 2014».
Замечание. Есть и другие решения.