Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2013-2014 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры


Петя мен Вася бір уақытта өз калькуляторларына нөлге тең емес бірдей бүтін санды жазды. Содан кейін Петя әр минут сайын өз санын немесе 10-ға үлкейтіп отырған, немесе 2014-ке көбейтіп отырған; сол уақытта, бірінші жағдайда Вася өз санын 10-ға кемітіп, екінші жағдайда 2014-ке бөліп отырған. Бірнеше уақыттан кейін Петя мен Васяның сандары қайтадан бірдей болуы мүмкін бе? ( И. Богданов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Да, так могло оказаться.
Решение. Допустим, последним действием перед тем, как числа снова стали равными, Петя умножал на 2014, а Вася делил. Тогда перед этим Петино и Васино числа были отрицательными, и модуль Васиного числа было в 20142 раз больше модуля Петиного. Пусть эти два числа были получены из одного и того же исходного числа n повторенной k раз операцией «Петя прибавляет 10, Вася вычитает 10». Это означает, что n10k=20142(n+10k)10(20142+1)k=(120142)n. Полагая, например, n=10(20142+1), получаем, что, начав с такого числа n, Петя и Вася могли снова уравнять свои числа, совершив сначала 201421 операций «Петя прибавляет 10, Вася вычитает 10», а потом одну операцию «Петя умножает на 2014, Вася делит на 2014».
Замечание. Есть и другие решения.