Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2008-2009 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Өзен бойында Мумбо-Юмбо тайпасы тұрады. Бір кезде жедел хабармен, бір уақытта көрші тайпаға жас жауын Мумбо мен дана шаман Юмбо жолға шықты. Мумбо 11 км/сағ жылдамдықпен сал қоймасына жүгіріп кетті. Сосын салда көрші тайпаға жүзіп кетті. Ал Юмбо асықпай, 6 км/сағ басқа сал қоймасына барып, сол жерден көрші тайпаға салмен жүзді. Соңында Юмбо Мумбоға қарағанда тез жүзіп келді. Өзен бойы түзу, ал салдар жылдамдығы өзен жылдамдығымен бірдей. Ол жылдамдық барлық жерде бірдей, және 6-дан кем емес бүтін км/сағ өлшенеді. Сонда оның ең үлкен мәні қандай болуы мүмкін? ( М. Евдокимов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 26 км/ч.
Решение. Обозначим место обитания племени Мумбо-Юмбо через $O$, хранилище, к которому побежал Мумбо, через $M$, а хранилище, к которому пошел Юмбо, через $U$. Очевидно, что $M$ находится выше по течению, чем $O$, а $U$ ниже. Пусть расстояния от $O$ до $M$ и $U$ равны $x$ и $y$ км соответственно $(x < y)$, скорость реки равна $v$ км/ч. На путь от $O$ до $U$ Юмбо затратил $y/6$ часов, а Мумбо $x/11+(x+y)/v$ часов. Ясно, что в соседнее племя Юмбо приплывает раньше Мумбо тогда и только тогда, когда $y/6 < x/11+(x+y)/v$. Так как $x < y$, из этого неравенства следует, что $y/6 < y/11+(y+y)/v$. Сократив на $y$ и преобразовав, получаем $v < 26,\!4$.
Осталось проверить, что скорость реки могла равняться 26 км/ч. Для этого в неравенстве $y/6 < x/11+(x+y)/v$ положим $v = 26$ и равносильно преобразуем его к виду $y/x < 111/110$. Последнее возможно (например, при $y = 1,\!12$ км, $x = 1,\!11$ км), что и завершает решение.