Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, II тур регионального этапа

Пусть $a$, $b$, $c$ — три натуральных числа. На доску выписали три произведения $ab$, $ac$, $bc$, и у каждого из них стёрли все цифры, кроме двух последних. Могло ли случиться, что в результате получились три последовательных двузначных числа? ( Н. Агаханов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Не могло.
Решение. Предположим противное: произведения $ab$, $bc$ и $ca$ оканчиваются, соответственно, двузначными числами $n$, $n+1$ и $n+2$. Среди этих трёх последовательных чисел обязательно найдется нечётное, значит, произведение каких-то двух из чисел $a$, $b$ и $c$ нечётно. Это означает, что по крайней мере два из чисел $a$, $b$ и $c$ нечётны. Но тогда третье число чётно, иначе все три произведения $ab$, $bc$, $ca$ были бы нечётными, что невозможно.
Итак, среди произведений одно нечётное и два чётных числа, то есть число $n$ чётно. Тогда число $a$ чётно, а числа $b$ и $c$ нечётны. Теперь, если $a$ делится на 4, то оба числа $n$ и $n+2$ должны делиться на 4. Если же $a$ не делится на 4, то числа $n$ и $n+2$ также не делятся на 4. Однако из двух последовательных чисел $n$ и $n+2$ одно обязательно делится на 4, а другое — нет. Противоречие.