Эйлер атындағы олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

$M$ — $AB$ кесіндісінде белгіленген нүкте болсын. $P$ мен $Q$ нүктелері — сәйкесінше $AM$ мен $BM$ кесінділерінің ортасы, $O$ нүктесі — $PQ$ кесіндісінің ортасы болсын. $ACB$ бұрышы тік болатындай $C$ нүктесін белгілейік. $MD$ мен $ME$ — $M$ нүктесінен $CA$ мен $CB$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар, ал $F$ — $DE$ кесіндісінің ортасы болсын. $OF$ кесіндісінің ұзындығы белгіленген $C$ нүктесіне тәуелді емес екенін дәлелдеңдер. ( Р. Женодаров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Заметим, что $CDME$ — прямоугольник. Его диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому точка $F$ является серединой отрезка $CM$. Далее, отрезки $PF$ и $FQ$ — средние линии треугольников $ACM$ и $BCM$ соответственно. Значит, они параллельны взаимно перпендикулярным отрезкам $AC$ и $CB$, то есть угол $PFQ$ — прямой. Наконец, $FO$ — медиана в прямоугольном треугольнике $PFQ$, проведённая к гипотенузе $PQ$. Так как точки $P$ и $Q$ фиксированы, длина $FO = PQ/2$ не зависит от выбора точки $C$, что и требовалось доказать.