Эйлер атындағы олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Музейге барар жолда балабақша балалар тобы жұптарға бөлініп тізілді. Сонда екі ұлдан құралған жұптар саны екі қыздан құралған жұптар санынан үш есе көп болған. Қайтар жолда сол топ екі ұлдан құралған жұптар саны екі қыздан құралған жұптар санынан төрт есе көп болатындай етіп тізілген. Олай болса, осы топты екі ұлдан құралған жұптар саны екі қыздан құралған жұптар санынан жеті есе көп болатындай етіп тізуге болатынын дәлелде. ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть количество пар девочек на пути в музей было $a$, а на обратном пути — $b$. Значит, количества пар мальчиков на пути туда и обратно были равны $3a$ и $4b$ соответственно. Поскольку каждая из остальных пар состояла из мальчика и девочки, разность между количествами пар мальчиков и девочек составляет $3a-a = 4b-b$, откуда $2a = 3b$, и $b$ делится на 2, то есть $b = 2c$ при некотором целом $c$.
Рассмотрим теперь ситуацию на пути обратно, выберем в ней $c$ пар мальчиков и $c$ пар девочек и перестроим их в разнополые пары. Останется $c$ пар девочек и $7c$ пар мальчиков, что и требовалось.