Эйлер атындағы олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Табандары $AD$ мен $BC$ болатын $ABCD$ трапециясында $ABD$ бұрышы тік және $BC+CD=AD$ екені белгілі болса $AD : BC$ қатынасын табыңдар. ( Б. Обухов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $AD : BC = 2$.
Решение 1. Отложим на стороне $AD$ отрезок $AE = BC$. Тогда $ABCE$ — параллелограмм, а $ED = CD$. Поскольку $AB \parallel CE$, диагональ $BD$ перпендикулярная $AB$, перпендикулярна и $CE$. Следовательно, она проходит через середину $F$ основания $CE$ равнобедренного треугольника $CDE$. Поскольку $EF = CF$, $\angle EFD = \angle BFC$ и $\angle BCF = \angle FED$, треугольники $CFB$ и $EFD$ равны. Поэтому $ED = BC = AE$, откуда и следует ответ.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Ответ. $AD : BC = 2$.
Решение 2. Выберем на стороне $AD$ точку $K$ так, что отрезок $BK$ параллелен $CD$. Тогда $KD = BC$, и, значит, $AK = CD$. Кроме того, $BK = CD$ ($KBCD$ — параллелограмм), поэтому $AK = BK$ и, значит, высота $KH$ треугольника $AKB$ является медианой. Следовательно, $KH$ — средняя линия прямоугольного треугольника $ABD$. Отсюда $AD = 2KD = 2BC$.