Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры


Табандары AD мен BC болатын ABCD трапециясында ABD бұрышы тік және BC+CD=AD екені белгілі болса AD:BC қатынасын табыңдар. ( Б. Обухов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. AD:BC=2.
Решение 1. Отложим на стороне AD отрезок AE=BC. Тогда ABCE — параллелограмм, а ED=CD. Поскольку ABCE, диагональ BD перпендикулярная AB, перпендикулярна и CE. Следовательно, она проходит через середину F основания CE равнобедренного треугольника CDE. Поскольку EF=CF, EFD=BFC и BCF=FED, треугольники CFB и EFD равны. Поэтому ED=BC=AE, откуда и следует ответ.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Ответ. AD:BC=2.
Решение 2. Выберем на стороне AD точку K так, что отрезок BK параллелен CD. Тогда KD=BC, и, значит, AK=CD. Кроме того, BK=CD (KBCD — параллелограмм), поэтому AK=BK и, значит, высота KH треугольника AKB является медианой. Следовательно, KH — средняя линия прямоугольного треугольника ABD. Отсюда AD=2KD=2BC.