Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, I тур регионального этапа

Через центры некоторых клеток шахматной доски $8 \times 8$ проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков. ( Д. Храмцов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Проведём пунктиром вертикальные и горизонтальные линии через центры клеток доски. На получившейся пунктирной сетке каждое звено нашей ломаной соединяет узлы, соседние по вертикали, горизонтали или диагонали. Поэтому пунктирные прямые разбивают область, ограниченную ломаной, на единичные квадратики и половинки квадратиков, получаемые разрезанием их по диагонали. Осталось заметить, что в каждом таком квадратике и в каждом таком треугольнике площади чёрной и белой частей равны. Действительно, каждый квадратик содержит по две четверти клеток обоих цветов, а треугольник — четверть клетки одного цвета и два треугольничка, каждый из которых составляет восьмую часть клетки другого цвета.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Рассмотрим новую квадратную сетку, образованную вертикальными и горизонтальные линиями, проходящими через центры клеток доски. Каждый квадрат этой сетки разрежем диагоналями на четыре треугольника. Очевидно, каждый получившийся треугольник наполовину белый, а наполовину — черный. С другой стороны, фигура, ограниченная ломаной, состоит из таких треугольников, поскольку по условию она ни одного из них не пересекает.