Эйлер атындағы олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Незнайка шеңбер бойына 11 натурал санды жазып қойды. Әрбір екі көрші сандар үшін ол олардың айырымын есептеп қойды (үлкеннен кішісін алып тастады). Ең соңында табылған сандардың ішінен төрт тал бір саны, төрт тал екі саны және үш тал үш саны табылды. Незнайка бір жерде қателік жібергенің дәлелдеңіз. ( Р. Женодаров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Запишем каждую из наших разностей со знаком плюс, если в соответствующей паре чисел большее стоит перед меньшим по часовой стрелке, и со знаком минус в противном случае. У нас получились 11 разностей между числом и следующим за ним по часовой стрелке; значит, сумма всех этих чисел равна нулю, то есть чётному числу. Это невозможно, поскольку среди них ровно семь нечётных чисел — четыре числа, равных 1 или $-1$, и три числа, равных $3$ или $-3$.