Эйлер атындағы олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Футбол турнирына 8 команда қатысты және де әр қоманда әрқайсысымен бір-бірден ойнап шықты. Бір-бірімен тең ойнаған кез келген екі команда турнир соңында әр түрлі ұпай жинағаны белгілі. Турнир кезінде ең көп дегенде қанша тең ойын болуы мүмкін. (Турнирде жеңіс үшін 3 ұпай, тең ойын үшін 1 ұпай, жеңіліс үшін 0 ұпай беріледі.) ( С. Токарев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 22.
Решение. Докажем, что ровно по 6 ничьих может быть не более, чем у двух команд. Действительно, любая такая команда имеет либо 6, либо $6 + 3$ очка (в зависимости от того, выиграла или проиграла она свой результативный матч). Если таких команд три, то у двух из них поровну очков, значит, между собой они сыграли не вничью; этого не может быть, ибо они обе либо не выигрывали, либо не проигрывали ни одного матча. Также ясно, что максимум одна команда все свои 7 матчей сыграла вничью. Таким образом, сумма количеств ничьих у всех 8 команд не превосходит $7 + 6 + 6 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 44$, а поскольку каждый ничейный матч учитывается дважды, то общее число ничьих в турнире не превосходит 44/2 = 22. Оно может равняться 22, как показано в таблице ниже.