Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 11 сынып

Келесі теңсіздіктер орындалатындай барлық $p$ және $q$ жай сандар жұптарын табыңыздар: $0 < \left| {\dfrac{p}{q}-\dfrac{q}{p}} \right| < \dfrac{4}{{\sqrt {pq} }}.$

Комментарий/решение

Пусть $p>q$, тогда получим:

$\cfrac{p}{q}-\cfrac{q}{p}<\cfrac{4}{\sqrt{pq}}$

$\cfrac{p^2-q^2}{pq}<\cfrac{4}{\sqrt{pq}}$

$p^2-q^2<4\sqrt{pq}$, но $2\sqrt{pq} \leqslant p+q$

$p^2-q^2<2(p+q)$

$p-q<2$

Значит $p=3, q=2$ или $p=2, q=3$