Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Миша мен Маша пойызбен Кировқа кетіп бара жатқан. Миша сөреде жатқан, ал Маша терезеге қарап отырған. Сағат 12.00-де Миша Машадан «Кировқа дейін әлі көп па?» деп сұрады. Маша «73 километр» деп жауап берді. Миша осы сұрақты 12.15-те және 12.45-те қойғанда, Маша: «62 километр» және «37 километр» деп жауап берді. Машаның, егер арақашықтық бүтін болмаса, оны ең жақын бүтін санға дейін дөңгелектеп отырғаны белгілі (ал егер ондай сан екеу болса, онда екі санның біреуін өз қалауы бойынша таңдайды). Егер пойыз жылдамдығы тұрақты болса, онда сол жылдамдықты табыңдар. Барлық мүмкін жағдайды қарастырып, басқа жағдай жоқ екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 48 км/ч.
Решение. Поскольку Маша каждый раз округляла расстояние до ближайшего целого числа, в 12.00 до Кирова было не меньше, чем 72,5 и не больше, чем 73,5 км, в 12.15 — не меньше, чем 61,5 и не больше, чем 62,5 км, а в 12.45 — не меньше, чем 36,5 и не больше, чем 37,5 км. Поэтому за 15 минут с 12.00 до 12.15 поезд проехал не меньше 10 и не больше 12 км, а за 30 минут с 12.15 до 12.45 — не меньше 24 и не больше 26 км. Так как 15 минут — это четверть часа, а 30 минут — половина часа, первое означает, что скорость поезда — не меньше $10 \cdot 4 = 40$ км/ч и не больше $12 \cdot 4 = 48$ км/ч, а второе — что она не меньше $24 \cdot 2 = 48$ км/ч и не больше, чем $26 \cdot 2 = 52$ км/ч. Единственная скорость, удовлетворяющая обоим этим условиям, составляет 48 км/ч.