Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

30 адам әр қатарда бес адам болатындай алты қатарға тізілген. Олардың әрқайсысы әрқашан да шындықты айтатын сері, немесе әрқашан да өтірікті айтатын өтірікші, және де олардың әрқайсысына кімнің сері, кімнің өтірікші екені белгілі. Олардың әрқайсысынан журналист: «Қатардағы адамдардың жартысынан көбі өтірікшілер болатындай, кемінде 4 қатар табылады деген тұжырым дұрыс па?» деп сұрады. Журналист ең көп дегенде қанша «ия» деген жауапты естуі мүмкін?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 21.
Решение. Назовем шеренгу синей, если в ней больше половины (то есть не меньше трёх) лжецов и красной, если лжецов в ней не больше двух. Пусть «да» сказали рыцари. Тогда у нас не больше двух красных и не меньше четырёх синих шеренг. В красных шеренгах стоят не больше 10 рыцарей, в синих — не больше $2 \cdot 4 = 8$ рыцарей. Поэтому ответов «да» в этом случае не больше 18. Пусть «да» сказали лжецы. Тогда у нас не больше трёх синих шеренг и не меньше трёх красных. В синих шеренгах не больше 15 лжецов, в красных — не больше $2 \cdot 3 = 6$ лжецов, всего — не больше 21 лжеца, то есть ответов «да» в этом случае не больше 21. Ровно 21 ответ «да» возможен, если в трёх шеренгах стоит по 5 лжецов, а в трёх других — по 2 лжеца.