Решения: Олимпиада им. Леонарда Эйлера, Дистанционный этап

Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

$45 ^\circ$ -қа тең

$BAC$ бұрышының ішінен

$ADB$ мен

$ADC$ бұрыштарының әрқайсысы

$45 ^\circ$ болатындай

$D$ нүктесі алынған.

$D_1$ мен

$D_2$ нүктелері сәйкесінше

$AB$ мен

$AC$ қарағанда

$D$ нүктесіне симметриялы.

$D_1$ ,

$D_2$ ,

$B$ және

$C$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелде.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Так как треугольники $ABD$ и $ABD_1$ по условию симметричны, $AD_1 = AD$ , $\angle BAD_1 = \angle BAD$ , $\angle AD_1B = \angle ADB = 45^\circ$ .

Аналогично,

$AD_2 = AD$ ,

$\angle CAD_2 = \angle CAD$ ,

$\angle AD_2С = \angle ADС = 45^\circ$ . Из равенств

$\angle BAD_1 = \angle BAD$ , и

$\angle CAD_2 = \angle CAD$ следует, что

$\angle D_1AD_2 = 2 \angle BAC = 90^\circ$ . Так как при этом

$AD_1 = AD = AD_2$ , имеем

$\angle AD_1D_2 = \angle AD_2D_1 = 45^\circ$ . Таким образом,

$\angle AD_1D_2 = \angle AD_1B$ и

$\angle AD_2D_1 = \angle AD_2С$ , причем точки

$B$ и

$D_2$ лежат с одной стороны от прямой

$AD_1$ , а точки

$C$ и

$D_1$ — с одной стороны от прямой

$AD_2$ , откуда и следует утверждение задачи.