Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2013-2014 учебный год, II тур дистанционного этапа


Внутри угла $BAC$, равного $45^\circ$, взята точка $D$ так, что каждый из углов $ADB$ и $ADC$ равен $45^\circ$. Точки $D_1$ и $D_2$ симметричны точке $D$ относительно прямых $AB$ и $AC$ соответственно. Докажите, что точки $D_1$, $D_2$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Так как треугольники $ABD$ и $ABD_1$ по условию симметричны, $AD_1 = AD$, $ \angle BAD_1 = \angle BAD$, $\angle AD_1B = \angle ADB = 45^\circ$.

Аналогично, $AD_2 = AD$, $ \angle CAD_2 = \angle CAD$, $\angle AD_2С = \angle ADС = 45^\circ$. Из равенств $\angle BAD_1 = \angle BAD$, и $ \angle CAD_2 = \angle CAD$ следует, что $\angle D_1AD_2 = 2 \angle BAC = 90^\circ$. Так как при этом $AD_1 = AD = AD_2$, имеем $\angle AD_1D_2 = \angle AD_2D_1 = 45^\circ$. Таким образом, $\angle AD_1D_2 = \angle AD_1B$ и $\angle AD_2D_1 = \angle AD_2С$, причем точки $B$ и $D_2$ лежат с одной стороны от прямой $AD_1$, а точки $C$ и $D_1$ — с одной стороны от прямой $AD_2$, откуда и следует утверждение задачи.