Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, II тур дистанционного этапа

В коробке лежат шарики 10 цветов. Известно, что можно вынуть из коробки 100 шариков так, чтобы в ней шариков всех 10 цветов осталось поровну. Докажите, что в коробку можно добавить 900 шариков так, чтобы в ней шариков всех цветов стало поровну.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть для того, чтобы шариков всех 10 цветов стало по $k$ штук, надо удалить 100 шариков, среди которых $a_1$ шариков первого цвета, $a_2$ — второго цвета, $\dots$, $a_{10}$ — десятого цвета. Тогда если в корзину добавить $100-a_1$ шариков первого цвета, $100-a_2$ — второго цвета, $\dots$, $100-a_{10}$ — десятого цвета, шариков всех цветов станет по $k+100$, а всего добавлено будет $1000-(a_1+\dots+a_{10}) = 1000-100 = 900$ шариков.