Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Жәшікте 10 әр түрлі түсті шарлар жатыр. Осы жәшіктен әр түстің шарлардың саны тең болатындай, 100 шар суырып шығаруға болатыны белгілі. Осы жәшіктегі әр түрлі шарлар саны тең болатындай, жәшікке тағы 900 шар қосуға болатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть для того, чтобы шариков всех 10 цветов стало по $k$ штук, надо удалить 100 шариков, среди которых $a_1$ шариков первого цвета, $a_2$ — второго цвета, $\dots$, $a_{10}$ — десятого цвета. Тогда если в корзину добавить $100-a_1$ шариков первого цвета, $100-a_2$ — второго цвета, $\dots$, $100-a_{10}$ — десятого цвета, шариков всех цветов станет по $k+100$, а всего добавлено будет $1000-(a_1+\dots+a_{10}) = 1000-100 = 900$ шариков.