Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Есі ауысқан конструктор 150 тілі бар сағат құрастырған. Бірінші тіл бір сағатта бір айналым жасайды, екінші тіл бір сағатта 2 айналым жасайды, \ldots, 150-ші тіл 1 сағатта 150 айналым жасайды. Сағатты тілдердің бәрі тік жоғары қарап тұрған кезінде іске қосқан. Егер жұмыс барысында екі немесе одан да көп тілшелер беттессе, онда олардың барлығы істен шығып құлайды. Сағатты іске қосқаннан кейін қанша уақыттан соң сағатына 74 айналым жасайтын тілше құлайды?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Через 20 минут.
Решение. Первая встреча стрелок случится, когда самая быстрая 150-я стрелка нагонит самую медленную первую. После этого они отвалятся, и про них можно забыть. Вторая встреча произойдёт, когда самая быстрая из оставшихся, 149-я, нагонит самую медленную из оставшихся вторую. Рассуждая аналогично далее, убеждаемся, что 74-я стрелка отвалится вместе с 77-й. Так как 77-я стрелка делает в час на три оборота больше, чем 74-я, она нагоняет 74-ю со скоростью 3 оборота в час и впервые нагонит ее через 1/3 часа.