Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Шарик и Матроскин ходят на лыжах по кольцевой трассе, половина которой представляет с собой подъем в гору, а половина — спуск с горы. На подъёме их скорости одинаковы и вчетверо меньше их скоростей на спуске. Минимальное отставание Шарика от Матроскина равно 4 км, а максимальное — 13 км. Найдите длину трассы.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 24 км.
Решение. Минимальное отставание Шарика от Матроскина случается, когда Шарик находится в самой низкой точке трассы, а Матроскин — поднимается в гору (если в это время Матроскин спускается, то получается, что половина трассы короче 4 км, что, очевидно, невозможно). И оно сохраняется до тех пор, пока Матроскин не достигнет самой высокой точки. После этого Шарик поднимается еще 4 км в гору, а Матроскин спускается. Если бы Матроскин спускался все это время, то отдалился бы от Шарика (точнее, самой высокой точки) на 16 км. Но расстояние перестало возрастать, когда Матроскин опережал Шарика на 13 км, а, значит, Матроскин достиг самой низкой точки трассы и начал подниматься в гору. Поскольку отставание увеличивалось на 3 км за каждый километр, пройденный Шариком, а всего увеличилось на 9 км, то Шарику до самой высокой точки оставался $4-(13-4)/(4-1) = 1$ км в то время, как Матроскин достиг самой низкой точки. Значит, длина спуска составляет $13-1 = 12$ км, а всей трассы — 24 км.