Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Алтытаңбалы $N$ саны әр бес алтытаңбалы $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ сандарымен үш разрядында беттеседі. $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ сандарының ішінде кемінде екі разрядта беттесетін екі сан табылатынын дәлелде.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Запишем число $N$ и поставим по крестику под цифрами в тех разрядах, в которых число $N$ совпадает с числом $A$. Затем поставим по крестику под цифрами в тех разрядах, в которых число $N$ совпадает с числом $B$ и т.д. В итоге мы поставим 15 крестиков. Значит, найдётся разряд, под которым крестиков не меньше трёх. Поэтому среди чисел $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ найдутся три, совпадающие в одном из разрядов (назовём его отмеченным). Оставим только крестики, соответствующие этим числам и не стоящие в отмеченном разряде. Их шесть, а не отмеченных разрядов — пять, поэтому среди них найдутся два, стоящие в одном разряде. Числа, соответствующие этим крестикам — искомые: они совпадают в этом разряде, а также в отмеченном.