Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры


ABCDE бесбұрышында AB=BC=CD=DE, B=96 және C=D=108. E бұрышын табыңыз. \otv 102.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 102.
Решение. Проведем отрезки BD и CE. Пусть они пересекаются в точке O. Заметим, что треугольники BCD и CDE равнобедренные с углом 108 при вершине, а значит, углы при основании равны 36 (они отмечены на рисунке одной дугой). Тогда BCE=BDE=72. Угол COD равен 108 (т.к. в треугольнике COD два угла по 36). Поэтому COB=180108=72. Углы по 72 отмечены на рисунке двумя дугами. Получаем, что треугольники CBO и DEO равнобедренные. Значит, AB=BO=BC=CD=DE=EO=x. Заметим, что OBA=9636=60. Значит, треугольник OBA равнобедренный с углом 60 при вершине, т.е. равносторонний. Поэтому AO=x. Вычислим угол AOE AOE=EOBAOB=10860=48. Треугольник AOE равнобедренный с углом 48 при вершине. Поэтому OEA=(18048)/2=66. Получаем, что угол E пятиугольника равен AED=AEO+OED=66+36=102.