Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. 102∘.
Решение. Проведем отрезки BD и CE. Пусть они пересекаются в точке O.
Заметим, что треугольники BCD и CDE равнобедренные с углом 108∘
при вершине, а значит, углы при основании равны 36∘ (они отмечены на рисунке одной дугой).
Тогда ∠BCE=∠BDE=72∘. Угол COD равен 108∘
(т.к. в треугольнике COD два угла по 36∘). Поэтому ∠COB=180∘−108∘=72∘.
Углы по 72∘ отмечены на рисунке двумя дугами. Получаем, что треугольники CBO и DEO равнобедренные.
Значит, AB=BO=BC=CD=DE=EO=x. Заметим, что ∠OBA=96∘−36∘=60∘.
Значит, треугольник OBA равнобедренный с углом 60∘ при вершине, т.е. равносторонний.
Поэтому AO=x. Вычислим угол AOE ∠AOE=∠EOB−∠AOB=108∘−60∘=48∘.
Треугольник AOE равнобедренный с углом 48∘ при вершине. Поэтому ∠OEA=(180∘−48∘)/2=66∘. Получаем, что угол E пятиугольника равен ∠AED=∠AEO+∠OED=66∘+36∘=102∘.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.