Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

$a$, $b$, $c$ натурал сандары $\mbox{ЕҮОБ}(ab, c)= \mbox{ЕҮОБ}(a, bc)$ ботатындай алынған. $a/c$ бөлшегін қысқартқаннан кейін алымы мен бөлімі $b$ саныман өзара жай болатын қысқармайтын бөлшек шығатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Достаточно доказать, что любое простое число $p$, входящее в разложение на простые множители числа $b$, входит в разложение числа $a$ и $b$ разложение числа $c$ в одинаковых (возможно, нулевых) степенях. Докажем это. Действительно, пусть, например, в разложение числа $a$ входит больше множителей $p$, чем в разложение числа $c$. Тогда в разложение числа $\text{НОД}(ab,c)$ число $p$ входит с тем же показателем, что и в число $c$. А в $\text{НОД}(a, cb)$ входит с большим показателем, потому что и в числе $a$ и $b$ числе $cb$ больше множителей $p$, чем в числе $c$. Аналогично разбирается второй случай.