Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Екі ойыншы кезекпен жазықтықта түзулер жүргізеді, бір түзуді екі рет жүргізуге болмайды. Түзу жүргізгеннен кейін пайда болған бөліктер саны бірінші рет 5-ке бөлінсе, сол түзуді жүргізген ойыншы жеңеді. Екеуі де дұрыс әдіспен ойнаған жағдайда кім жеңеді, жүрісті бірінші бастаған ойыншы ма, әлде оның қарсыласы ма, ол жеңу үшін қалай жүру тиіс?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Второй.
Решение 1. Второй своим первым ходом проводит прямую, параллельную той, которую провёл первый. Если своим вторым ходом первый проведёт прямую, параллельную двум уже проведённым, после его хода плоскость разобьётся на 4 части. Тогда второй проводит прямую, параллельную трём проведённым, и побеждает: частей получается ровно 5. Если же своим вторым ходом первый проведёт прямую, пересекающую две уже проведённые, после его хода плоскость разобьётся на 6 частей. Тогда второй проводит прямую, пересекающую три уже проведённые в трёх различных точках, и тоже побеждает, потому что частей получается 10.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Второй своим первым ходом проводит прямую, пересекающую ту, которую провёл первый. Если своим вторым ходом первый проведёт прямую, параллельную одной из двух проведённых или проходящую через точку их пересечения, после его хода плоскость разобьётся на 6 частей. Тогда второй проводит прямую, пересекающую три уже проведённые в трёх различных точках, и побеждает, потому что частей получается 10. Если же своим вторым ходом первый проведёт прямую, пересекающую обе проведённые в двух различных точках, плоскость разобьётся на 7 частей. Тогда второй проведёт прямую, параллельную одной из проведённых и не проходящую через точки их пересечения, и частей снова получится 10.