Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, II тур дистанционного этапа

Найдите все натуральные числа, десятичная запись которых оканчивается на два нуля, имеющие ровно 12 натуральных делителей.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 200 и 500.
Решение. Так как запись числа оканчивается на два нуля, оно делится на 100, то есть имеет вид $n \cdot 100 = n \cdot 2^2 \cdot 5^2$. Докажем, что если у числа ровно 12 делителей, то $n$ может быть равно только 2 или 5. Наименьшее из чисел вида $n \cdot 2^2 \cdot 5^2$ — число 100 (случай $n = 1$) имеет 9 делителей. Их можно найти непосредственно, но можно и так: все делители числа 100 имеют вид $2^k \cdot 5^m$, где $k$ и $m$ могут быть равны 0, 1 или 2. Следовательно, число делителей равно $3 \cdot 3 = 9$. Если $n$ не делится ни на 2 ни на 5, то у числа $n \cdot 100$ будет не менее 18 делителей: 9 делителей числа 100 и 9 делителей, получающихся из делителей числа 100 умножением на $n$. Если $n = 2$ или $n = 5$, то делителей, как легко проверить, будет ровно 12. Если же $n$ делится на 2 или 5 в степени выше первой, то $n$ делится на 200 или 500, и при этом больше 200 или 500 соответственно, поэтому делителей у него больше 12. Отсюда — ответ.