Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2010-2011 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

$E$ және $F$ нүктелері — $ABCD$ тіктөртбұрышының сәйкесінше $BC$ және $CD$ қабырғаларының орталары. $AE < 2EF $ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Первое решение. $2EF = BD = AC > AE$. Последнее неравенство следует из того, что угол $AEC$ — тупой. Второе решение. Пусть $BC = 2x$, $CD = 2y$. Тогда $AE^2 = x^2+4y^2 < 4x^2+4y^2 = (2EF)^2$.