Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Петя белгілі бір жұп санның барлық тақ бөлгіштерінің қосындысын тапты, ал Вася сол санның барлық жұп бөлгіштерінің қосындысын тапты. Осы екі қосындының көбейтіндісі натурал санның квадраты бола ала ма?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет.
Решение. Запишем исходное чётное число в виде $N = 2n(2m+1)$. Ясно что сумма всех нечётных делителей данного числа равна сумме всех делителей числа $2m+1$. Обозначим эту сумму через $S$. Тогда сумму всех чётных делителей числа $N$ равняется $2S+4S+\dots+2^nS$, а произведение суммы всех чётных делителей на сумму всех нечётных делителей равно $S^2(2+4+\dots+2^n)$. Для того, чтобы это произведение было квадратом, необходимо, чтобы квадратом была сумма, стоящая в скобках. Но эта сумма делится на 2 и не делится на 4.