Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2009-2010 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Задача №1.  Назовем неотрицательное целое число зеброй, если в его записи строго чередуются четные и нечетные цифры. Может ли разность двух 100-значных зебр быть 100 — значной зеброй?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Правильный треугольник со стороной 2 разбит на треугольники со стороной 1. В вершины этих треугольников положены 6 одинаковых с виду монет. Известно, что две из них фальшивые, легче настоящих, и лежат в концах единичного отрезка. Как найти обе фальшивые монеты за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь? (Фальшивые весят одинаково, настоящие — тоже).
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Вот четыре свойства четырёхугольников:
(1) противоположные стороны попарно равны;
(2) две противоположных стороны параллельны;
(3) какие-то две соседние стороны равны;
(4) диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения в одном и том же отношении.
Один из двух данных четырёхугольников обладает какими-то двумя из этих свойств, другой — двумя остальными. Докажите, что один из этих двух четырёхугольников — ромб.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  На авторынке можно обменять три автомобиля Жигули на одну Волгу и один Мерседес, а три Волги на два Жигули и один Мерседес. Сможет ли коллекционер Вася, имея 700 Жигулей, получить 400 Мерседесов?
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Петя нашёл сумму всех нечётных делителей некоторого чётного числа, а Вася — сумму всех чётных делителей этого числа. Могло ли произведение этих двух сумм оказаться квадратом натурального числа?
комментарий/решение(1)

---