Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Правильный треугольник со стороной 2 разбит на треугольники со стороной 1. В вершины этих треугольников положены 6 одинаковых с виду монет. Известно, что две из них фальшивые, легче настоящих, и лежат в концах единичного отрезка. Как найти обе фальшивые монеты за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь? (Фальшивые весят одинаково, настоящие — тоже).

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть в вершинах треугольника лежат монеты $a$, $b$, $c$, а напротив них в серединах сторон $a_1$, $b_1$, $c_1$ соответственно. Взвешиваем пары $(a, a_1)$ и $(b, b_1)$. Если их веса равны, то в каждой их этих пар есть по одной фальшивой монете ($c$ и $c_1$ одновременно фальшивыми быть не могут). Вторым взвешиванием сравниваем $a$ и $b$. Если их веса не равны, то та, которая легче — фальшивая, а вторая фальшивая та, что соседняя с ней из монет $a_1$, $b_1$. Если же их веса равны, то обе они — настоящие, а фальшивые — $a_1$ и $b_1$.
Пусть какая-то из пар легче, например, $(a,a_1) < (b,b_1)$. Тогда в паре $(a,a_1)$ ровно одна фальшивая, а в $(b,b_1)$ обе настоящие. Вторым взвешиванием сравниваем $a$ и $c$. Если c легче, то фальшивые — $c$ и $a_1$. Если a легче, то фальшивые $a$ и $c_1$. Если $a$ и $c$ весят одинаково, то обе они — настоящие, а фальшивые — $a_1$ и $c_1$.