Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Қабырғасы 2-ге тең, тең қабырғалы үшбұрыш қабырғалары 1-ге тең үшбұрыштарға бөлінген. Сол үшбұрыштардың төбелерінде сырттай бірдей болатын тиын қойылған. Олардың екеуі жасамшы — рас тиындардан жеңіл және бірлік кесіндінің төбелерінде жататыны белгілі. Екі жасамшы тиынды жүктерді қолданбай өлшеуіш таразыда екі өлшеу қолданып қалай анықтап алуға болады? (Жасамшы тиындардың салмақтары өзара бірдей, рас тиындардың салмақтары өзара бірдей.)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть в вершинах треугольника лежат монеты $a$, $b$, $c$, а напротив них в серединах сторон $a_1$, $b_1$, $c_1$ соответственно. Взвешиваем пары $(a, a_1)$ и $(b, b_1)$. Если их веса равны, то в каждой их этих пар есть по одной фальшивой монете ($c$ и $c_1$ одновременно фальшивыми быть не могут). Вторым взвешиванием сравниваем $a$ и $b$. Если их веса не равны, то та, которая легче — фальшивая, а вторая фальшивая та, что соседняя с ней из монет $a_1$, $b_1$. Если же их веса равны, то обе они — настоящие, а фальшивые — $a_1$ и $b_1$.
Пусть какая-то из пар легче, например, $(a,a_1) < (b,b_1)$. Тогда в паре $(a,a_1)$ ровно одна фальшивая, а в $(b,b_1)$ обе настоящие. Вторым взвешиванием сравниваем $a$ и $c$. Если c легче, то фальшивые — $c$ и $a_1$. Если a легче, то фальшивые $a$ и $c_1$. Если $a$ и $c$ весят одинаково, то обе они — настоящие, а фальшивые — $a_1$ и $c_1$.