Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Тақтада 8 қиылыспайтын шеңбер салынды және әрқайсысынан қалған жетеуінің арасынан сол шеңберден кіші болмайтын барлық шеңберлерге тілше жүргізді.Барлығы 33 тілше жүргізілді. Салынған шеңберлер арасында үшеуі тең екенін дәлелеңіз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Занумеруем круги в порядке возрастания радиусов (порядок между кругами равных радиусов устанавливаем произвольно). Тогда из каждого круга заведомо проведены стрелки ко всем кругам с меньшими номерами: из восьмого — 7 стрелок, из седьмого — 6 и т.д.. Всего таких стрелок $7+6+5+4+3+2+1 = 28$. Покрасим их в красный цвет, а оставшиеся 5 стрелок — в синий.
Заметим, что радиусы двух кругов равны тогда и только тогда, когда эти круги связаны двумя противоположно направленными стрелками. Поскольку любые два круга связаны ровно одной красной стрелкой, это означает, что равны в точности те круги, которые связаны синей стрелкой. Допустим, среди кругов нет трёх равных. Тогда каждый круг связан синей стрелкой (входящей или исходящей) не более чем с одним другим кругом. Но тогда синих стрелок не более, чем $8:2 = 4$. Противоречие.