Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2009-2010 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Үстел теннисінен өткен жарыс олимпиялық жүйеде өтті. Жеңімпаз 6 ойын жеңді. Жарыста қатысқандардан жеңген ойындар саны жеңілген ойындар санынан көп болатын қанша оқушы бар. (Олимпиалық кезеңнің әр айналымында қатысушылар жұптықтарға бөлінеді. Келесі айналымға тек қана сол жұптықтарда жеңіске ие болған адамдар ғана шығады. Айналым бір адам қалғанша дейін жүре береді. Әр айналымда әр оқушыға өзінің жұбы табылғаны белгілі.)

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 16.
Решение. Так как в каждом туре для каждого игрока нашлась пара и в каждой паре один из игроков выбывал, то общее количество игроков после каждого тура уменьшалось в два раза. Победитель участвовал в каждом туре и побеждал, значит, всего туров было шесть. Так как после шестого тура победитель определился однозначно, то всего участников было $2^6 = 64$. Проигравшие в первом туре имеют одно поражение и ноль побед, проигравшие во втором туре имеют одну победу и одно поражение. Все вышедшие в третий тур будут иметь по итогам турнира не менее двух побед и не более одного поражения (после которого они выбыли), то есть у них количество побед больше количества поражений. Так как после каждого тура количество участников уменьшалось в два раза, то в третий тур вышло 16 участников.