Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып

$ABCD$ квадратының сыртынан $AP=AB$ және $\angle ADP=10^\circ$ болатындай $P$ нүктесі алынған. $APB$ бұрышы қандай мәндер қабылдауы мүмкін? Мәндері градустық өлшемде берілуі керек.

Комментарий/решение

Точки $P, B, D$ лежат на окружности с центром в точке $A$.

$\angle PDB=35=\frac{\angle PAB}{2}$

$\angle PAB=70$

$\angle APB=55$

Докажи

Жауабы: ∠APB=35°

Егер АP=AB болса онда AB=AD=AP.

Осыдан △ADP және △ABP теңбүйірлі екенін білеміз.

∠ADP=∠APD=10° ∠DAP=180°-(10°+10°)=160°

және ∠APB=∠ABP ∠PAB=360°-(90°+160°)=110°

онда ∠APB=(180°-110°)/2= 35°