Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып

Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасына үшбұрыштың сыртында жататын жарты шеңбер сызылған. Жарты шеңберден $BD=DE=EC$ орындалатындай $D$ және $E$ нүктелері алынған. $AD$ және $AE$ кесінділері $BC$ қабырғасын тең үш бөлікке бөлетінін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Доказательство.

$\triangle ABD =\triangle ACE$ по двум сторонам и 1 углу. Из этого следует, что $\angle BAD =\angle EAC$. $\triangle BAD_1=\triangle CAE_1$по одной стороне и 2 углам. $D_1$-точка пересечения диагонали с $AD$,также определяется точка $E_1$. $BD_1 =E_1C$. Продлить трапецию $BDEC$ до треугольника $BFC$. Получается, что $ABFC$-параллелограм (из равенства углов $ABD, ACE$) . Так как $BO=OC$,то $O$ точка пересечения диагоналей параллелограмма, $AO=OF , BD=DF$. $D_1$-точка пересечения медиан, $D_1O=1/2*BD_1$. Это значит, что $BC$ разделено на 3 равные части