Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2008-2009 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Бір көлде мөңке, шортан мен алабұға балықтары бар. Екі балықшы бірге 70 балық ұстап алды және де бірінші балықшының ауланған балығының 5/9 бөлігі мөңке, ал екінші балықшының ауланған балығының 7/17 бөлігі алабұға балығы. Егер екі балықшы да бірдей мөңке мен бірдей алабұға балығын ауласа, әрқайсысы қанша шортаннан аулаған?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Жауабы. Первый — 2 щуки, второй — 0 щук.
Решение. Из условия следует, что улов первого рыбака равен $9n$, а улов второго равен $17k$, где $n$ и $k$ — целые неотрицательные числа. Тогда рыбаки поймали по $5n$ карасей и по $7k$ окуней. Общий улов составляет 70 рыб, значит, получаем уравнение $9n+17k = 70$. Таким образом, $70-17k$ должно делиться на 9. Перебором находим, что подходит только $k = 2$, откуда $n = 4$. То есть первый поймал 36 рыб, а второй — 34 рыбы. Тогда оба рыбака поймали по $5n = 20$ карасей и $7k=14$ окуней, откуда получаем ответ для щук.