Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 10 сынып


f:RR функциясы кез келген нақты x,y үшін f(xf(y))=yf(x) тепе-теңдігін қанағаттандырады. Бұл функцияның тақ екендігін (яғни әрбір нақты z үшін f(z)=f(z) тепе-теңдігін қанағаттандыратынын) дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
8 года 5 месяца назад #

1. Обозначим данное уравнение через R(x,y). Возьмем f от обеих частей R(x,y): ff(xf(y))=f(yf(x))=xf(y). Если f имеет хотя бы одно ненулевое значение, то xf(y) пробегает все действительные числа =>ff(x)=x.

2. R(x,f(x)) и R(x,f(x)): f(x)2=f(x)2=>f(x)=f(x) или f(x) для каждого x отдельно.

3. Если найдется a0, что f(a)=f(a), то R(x,a) и R(x,a)=>2af(x)=0 для всех x, что возможно только если f тождественный нуль.

4. В любом случае, имеем f(x)=f(x),x.

пред. Правка 3   0
3 года 8 месяца назад #

пред. Правка 2   2
3 года 3 месяца назад #

P(x,y) - начальное равенство, если f0, то f - нечетна. Далее при всех подстановках будем полагать, что y:f(y)0

P(0,y):f(0)=yf(0)yRf(0)=0

P(1,y):f(f(y))=cy (0), где c=f(1)f - биективна

P(1f(y),y):y=yf(1f(y))f(1f(y))=cy(1)

P(1,1y):f(f(1y))=cy(2)

(1)+(2)f(f(1y))=f(1f(y)), по биективности f(y)f(1y)=1(3)

P(f(1y),y):f(f(y)f(1y))=yf(f(1y)) из (3)c=yf(f(1y)) из (0)c=yy=1f(1)=1

Подставим в (3)x=1:f(1)=±1 и из биективности и f(1)=1f(1)=1

P(x,f(y)):f(cxy)=f(x)f(y)f(xy)=f(x)f(y), подставим y=1:f(x)=f(1)f(x)=f(x)