Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
1. Обозначим данное уравнение через R(x,y). Возьмем f от обеих частей R(x,y): ff(xf(y))=f(yf(x))=xf(y). Если f имеет хотя бы одно ненулевое значение, то xf(y) пробегает все действительные числа =>ff(x)=x.
2. R(x,f(x)) и R(−x,f(−x)): f(x)2=f(−x)2=>f(−x)=f(x) или −f(x) для каждого x отдельно.
3. Если найдется a≠0, что f(−a)=f(a), то R(x,−a) и R(x,a)=>2af(x)=0 для всех x, что возможно только если f тождественный нуль.
4. В любом случае, имеем f(−x)=−f(x),∀x.
P(x,y) - начальное равенство, если f≡0, то f - нечетна. Далее при всех подстановках будем полагать, что y:f(y)≠0
P(0,y):f(0)=yf(0)∀y∈R⟹f(0)=0
P(1,y):f(f(y))=cy (0), где c=f(1)⟹f - биективна
P(1f(y),y):y=yf(1f(y))⟹f(1f(y))=cy(1)
P(1,1y):f(f(1y))=cy(2)
(1)+(2)⟹f(f(1y))=f(1f(y)), по биективности f(y)f(1y)=1(3)
P(f(1y),y):f(f(y)f(1y))=yf(f(1y)) из (3)⟹c=yf(f(1y)) из (0)⟹c=yy=1⟹f(1)=1
Подставим в (3)x=−1:f(−1)=±1 и из биективности и f(1)=1⟹f(−1)=−1
P(x,f(y)):f(cxy)=f(x)f(y)⟺f(xy)=f(x)f(y), подставим y=−1:f(−x)=f(−1)f(x)=−f(x)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.