Математикадан аудандық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып

Дене шынықтыру мұғалімі 29 ұлдан және 31 қыздан тұратын 60 оқушыны ешбір оқушы (ұл не қыз) екі қыздың арасында тұрмайтындай бір сызыққа қойғысы келді. Мұғалімның ойы жүзеге аса ма?

Комментарий/решение

Допустим, что удастся. Пронумеруем места, где стоят школьники как $1,2,3,......,60$. Достаточно доказать, что найдутся $2$ девочки стоящие на $n$ и $n+2$ местах, и выйдет противоречие. Разделим места на пары как $1$ и $3$ ; $2$ и $4$...$58$ и $60$

Заметим, что пар у нас $30$, а девочек $31$. По принципу Дирихле найдется пара из двух девочек, что и требовалось доказать. Ответ:нет