Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур заключительного этапа


Есеп №1.  В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $ABCX$ — параллелограмм и $BD = CX;$ $BE = AX.$ Докажите, что $AE = CD.$ ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)
Есеп №2.  Докажите, что для любого целого неотрицательного числа $k$, не превосходящего $\frac{2022\cdot 2021}{2},$ существуют такие 2022 числа, что все их $\frac{2022\cdot 2021}{2}$ попарные суммы различны и среди этих сумм ровно $k$ положительных. (И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов) ( И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов )
комментарий/решение(1)
Есеп №3.  Положительные числа $a,$ $b,$ $c$ и $d$ не превосходят единицы. Докажите неравенство $$\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \frac{1}{4}+(1-a)(1-b)(1-c)(1-d).$$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(2)
Есеп №4.  В кружке 42 человека, любые двое из которых имеют среди кружковцев не менее десяти общих друзей. Докажите, что найдутся двое, имеющие среди кружковцев не менее двенадцати общих друзей. ( М. Антипов )
комментарий/решение(1)
результаты