М. Антипов


Задача №1.  В клетках доски $8 \times 8$ расставлены числа $1$ и $-1$ (в каждой клетке — по одному числу). Рассмотрим всевозможные расположения четырёхклеточной фигурки на доске (фигурку можно поворачивать, но её клетки не должны выходить за пределы доски). Назовём такое расположение неудачным, если сумма чисел, стоящих в четырёх клетках фигурки, не равна 0. Найдите наименьшее возможное число неудачных расположений. ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  На клетчатой доске размером $2014 \times 2014$ закрашено несколько (не меньше одной) клеток так, что в каждом квадратике размером $3 \times 3$ клетки закрашено чётное число клеток. Каково наименьшее возможное число закрашенных клеток? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  На доске записаны 2010 натуральных чисел. Разрешается стереть любую пару чисел $x$, $y$ (в которой $y > 1$) и записать вместо них либо пару чисел $2x+1$, $y-1$, либо пару $2x+1$, ${1\over 4}(y-1)$ (если $y-1$ делится на 4). Например, стерев числа 3 и 5, можно написать пару 7 и 4, либо пару 7, 1 (приняв $x=3$, $y=5$), либо пару 11, 2 (приняв $x=5$, $y=3$). Такие операции провели несколько раз, причем при первой операции были стерты числа 2006 и 2008. Докажите, что на доске не сможет появиться вновь первоначальный набор чисел. ( М. Антипов )
комментарий/решение олимпиада