4-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Есеп №1. Первый фонтан наполняет бассейн за 2 часа 30 минут, а второй — за 3 часа 45 минут. За какое время наполняют бассейн оба фонтана, работая вместе?
комментарий/решение(2)

Есеп №2. АА, ББ, ВВ и ГГ играли между собой в настольный теннис. АА сыграл 30 партий, ББ — 20, ВВ — 17, ГГ — 13. Сколько всего было сыграно партий?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Периметр треугольника $ABC$ равен 49 см. Известно, что сторона $AB$ в полтора раза больше чем сторона $BC$, и на 7 см больше чем сторона $AC$. Найдите сторону $BC$.
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Известно, что $|a|=19$, $|b|=20$, $|c|=21$. Какое наибольшее значение может принимать выражение $a-b+c$?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Площадь фигуры, нарисованной на клетчатой бумаге (см. рисунок ниже) равна $29,\!04$ см$^2$. Чему равна сторона клеточки?
комментарий/решение

Есеп №6. На прямой отмечены точки $A$, $B$ и $C$ так, что $AC=12$ см, $BC=9$ см. Чему может быть равно расстояние между серединами отрезков $AC$ и $BC$?
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Найдите значение выражения $\frac{ab+a+b+1}{bc+b+c+1}:\frac{ed+e+d+1}{cd+c+d+1}$ при $a=2019$ и $e=1$.
комментарий/решение(5)

Есеп №8. Напомним, что магический квадрат — это квадратная таблица, заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Из чисел 2019, 2020, $\ldots$, 2027 составили магический квадрат размера $3 \times 3$. Какое число расположилось в центре квадрата?
комментарий/решение

Есеп №9. В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$. Найдите углы этого треугольника, если известно, что $AK=BM=AB$
комментарий/решение(2)

Есеп №10. Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого делится на 2009.
комментарий/решение(2)

Есеп №11. На окружности отмечено 40 точек. Каждые две из них соединили отрезком. Сеня покрасил точки в два цвета. Какое наибольшее количество отрезков с концами в точках разного цвета могло получиться?
комментарий/решение

Есеп №12. В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками равен $\alpha$. Через час он опять равен $\alpha$. Найдите все возможные значения $\alpha$.
комментарий/решение

Есеп №13. В автобусе ехало не более ста пассажиров, причем число стоящих пассажиров было в два раза больше числа сидящих. На остановке из автобуса вышло $4\%$ всех пассажиров. Найдите число пассажиров, оставшихся в автобусе.
комментарий/решение

Есеп №14. Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на 60 равен составному числу. Какому?
комментарий/решение

Есеп №15. Под словом АЛМАТА зашифровали некоторое натуральное число, делящиеся на 45. Также известно, что при шифровке не использовали цифру 0. Найдите наименьшее возможное значение суммы цифр этого зашифрованного числа. (В шифровке одинаковые буквы означает одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры.)
комментарий/решение

Есеп №16. Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе напишите сумму чисел, которые надо вычеркнуть.
комментарий/решение

Есеп №17. Палиндромом называют те числа, которые не изменяются при написании в обратном порядке. Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех шестизначных палиндромов.
комментарий/решение

Есеп №18. Вычислите: $$\left(\frac{1+2}{3}+\frac{4+5}{6}+\ldots+\frac{2017+2018}{2019}\right)+\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{673}\right).$$
комментарий/решение(1)

Есеп №19. Из числа $13^{100}$ вычли наибольший его делитель, не равный самому числу. Из полученной разности также вычли наибольший её делитель, не равный ей самой, и т.д., пока после очередного вычитания не получилась единица. Сколько всего вычитаний было произведено?
комментарий/решение

Есеп №20. Известно, что $ab=1$, $(2a+b)(a+2b)=2019$. Найдите значение суммы $a^2+b^2$.
комментарий/решение(3)