38-я Балканская математическая олимпиада. 2021 год

Есеп №1. Пусть

$ABC$ является треугольником, у которого

$AB < AC$ . Пусть

$\omega$ является окружностью, проходящей через

$B$ ,

$C$ и допустим, что

$A$ находится внутри

$\omega$ . Предположим, что

$X$ ,

$Y$ лежат на

$\omega$ и

$\angle BXA = \angle AYC$ . Предположим также, что

$X$ и

$C$ лежат по разные стороны от прямой

$AB$ , а также

$Y$ и

$B$ лежат по разные стороны от прямой

$AC$ . Покажите, что при изменении

$X$ ,

$Y$ на

$\omega$ прямая

$XY$ проходит через некоторую фиксированную точку.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Найдите все функций

$f: (0, +\infty)\to (0, +\infty)$ такие, что

$f(x+f(x)+f(y))=2f(x)+y$ справедливо для всех

$x,y \in (0, +\infty)$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Пусть

$a$ ,

$b$ и

$c$ являются натуральными числами, удовлетворяющие уравнению

$\text{НОД}(a,b)+\text{НОК}(a,b)=2021^c.$ Если

$|a-b|$ является простым числом, то докажите, что число

$(a + b)^2 + 4$ является составным.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. У Ангела есть склад, на котором изначально находится 100 куч по 100 кусков мусора в каждой. Каждое утро Ангел выполняет ровно одно из следующих действий:
   (a) Он очищает каждый кусок мусора из одной кучи.
   (b) Он очищает по одному кусочку мусора из каждой кучи.
   Однако каждый вечер на склад пробирается демон и выполняет ровно одно из следующих действий:
   (a) Он добавляет по одному куску мусора в каждую непустую кучу.
   (b) Он создает новую кучу с одним куском мусора.
   В какое первое утро Ангел может гарантировать, что очистил весь мусор со склада?
комментарий/решение(1)

результаты