37-я Балканская математическая олимпиада. Румыния, 2020 год

Задача №1.  Пусть $ABC$ является остроугольным треугольником, у которого $AB=AC$, пусть $D$ является серединой стороны $AC$, и пусть $\gamma$ является описанной окружностью треугольника $ABD$. Касательная к $\gamma$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $E$. Пусть $O$ является центром описанной окружности треугольника $ABE$. Докажите, что середина отрезка $AO$ лежит на окружности $\gamma$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Обозначим через ${{\mathbb{Z}}_{>0}}=\left\{ 1,2,3,\ldots \right\}$ множество всех положительных целых чисел. Определите все функции $f:{{\mathbb{Z}}_{>0}}\to {{\mathbb{Z}}_{>0}}$ такие, что для любого положительного числа $n$:
   А) $\underset{k=1}{\overset{n}{\mathop \sum }}\,f\left( k \right)$ является полным квадратом, и
   Б) $f\left( n \right)$ делит ${{n}^{3}}$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Пусть $k$ является положительным целым числом. Определите наименьшее целое число $n$, с условием $n\ge k+1$, для которого в нижеуказанную игру можно играть бесконечно:
   Рассмотрим $n$ коробок, обозначенных через ${{b}_{1}},{{b}_{2}}, \ldots , {{b}_{n}}$. Для любого индекса $i$, коробка ${{b}_{i}}$ изначально содержит ровно $i$ монет. На каждом шаге выполняются по указанному порядку следующие три подшага:
   (1) Выбираем $k+1$ коробок;
   (2) Среди этих $k+1$ коробок выбираем $k$ коробок, и убираем по крайней мере половину монет из каждой, и если оставшаяся коробка обозначена через ${{b}_{i}}$, то добавляем в нее $i$ монет;
   (3) Если одна из коробок останется пустой, то игра заканчивается; в противном случае переходим к следующему шагу.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Пусть ${{a}_{1}}=2$, и для каждого положительного целого числа $n$, пусть ${{a}_{n+1}}$ будет наименьшим целым числом строго большим чем ${{a}_{n}}$, и которое имеет больше положительных делителей, чем ${{a}_{n}}$. Докажите, что $2{{a}_{n+1}}=3{{a}_{n}}$ только для конечного числа индексов $n$.
комментарий/решение

---