37-я Балканская математическая олимпиада. Румыния, 2020 год

Пусть ${{a}_{1}}=2$, и для каждого положительного целого числа $n$, пусть ${{a}_{n+1}}$ будет наименьшим целым числом строго большим чем ${{a}_{n}}$, и которое имеет больше положительных делителей, чем ${{a}_{n}}$. Докажите, что $2{{a}_{n+1}}=3{{a}_{n}}$ только для конечного числа индексов $n$.