3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур, 2019 г.

Есеп №1.  Разрежьте фигуру на рисунке на три равные части (не обязательно по линиям сетки). (Равными называются части, которые можно совместить, наложив друг на друга. При этом части можно поворачивать и переворачивать.)

комментарий/решение

---

Есеп №2.  Вычислите сумму: \[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \ldots + \frac{1}{{1000}} + \frac{2}{{1000}} + \frac{3}{{1000}} + \ldots + \frac{{999}}{{1000}}.\]
комментарий/решение(5)

---

Есеп №3.  Асан и Хасан под наблюдением жюри играют в следующую игру. Жюри выбирает натуральное число $n$, имеющее 100 делителей, и выписывает на доске все эти делители, затем на бумаге рисует две горизонтальные таблицы размеров $50 \times 1$, и соответствующие клетки соединяет отрезком.
    Каждый игрок своим ходом должен выбрать какой-то делитель с доски, переписать его в одну свободную клетку бумаги, и стереть этот делитель с доски. Когда все клетки таблицы заполнены, игра заканчивается.
    После этого жюри на каждом отрезке пишет произведение чисел записанных в клетках, соединяющих эти отрезки, а затем все полученные произведения складывает.
    Если полученная сумма делится на $n$, то первый игрок проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре, если игру начинает Асан, а далее ходят по очереди?

комментарий/решение(1)

---

Есеп №4.  Десятичная запись числа $5 \cdot A$ состоит из 1000 пятерок и 1000 шестёрок. Найдите сумму цифр числа $A$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5.  Для набора, состоящей из четырёх чисел, посчитали сумму всевозможных пар, и получили следующие суммы: 189, 320, 287, 264, $x$ и $y$. Чему может быть равно наибольшее возможное значение суммы ${x+y}$?
комментарий/решение(2)

---