3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур, 2019 г.

Есеп №1. Разрежьте фигуру на рисунке на три равные части (не обязательно по линиям сетки). (Равными называются части, которые можно совместить, наложив друг на друга. При этом части можно поворачивать и переворачивать.)

комментарий/решение

Есеп №2. Вычислите сумму:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \ldots + \frac{1}{{1000}} + \frac{2}{{1000}} + \frac{3}{{1000}} + \ldots + \frac{{999}}{{1000}}.$
комментарий/решение(5)

Есеп №3. Асан и Хасан под наблюдением жюри играют в следующую игру. Жюри выбирает натуральное число

$n$ , имеющее 100 делителей, и выписывает на доске все эти делители, затем на бумаге рисует две горизонтальные таблицы размеров

$50 \times 1$ , и соответствующие клетки соединяет отрезком.
    Каждый игрок своим ходом должен выбрать какой-то делитель с доски, переписать его в одну свободную клетку бумаги, и стереть этот делитель с доски. Когда все клетки таблицы заполнены, игра заканчивается.
    После этого жюри на каждом отрезке пишет произведение чисел записанных в клетках, соединяющих эти отрезки, а затем все полученные произведения складывает.
    Если полученная сумма делится на

$n$ , то первый игрок проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре, если игру начинает Асан, а далее ходят по очереди?

комментарий/решение(1)

Есеп №4. Десятичная запись числа

$5 \cdot A$ состоит из 1000 пятерок и 1000 шестёрок. Найдите сумму цифр числа

$A$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Для набора, состоящей из четырёх чисел, посчитали сумму всевозможных пар, и получили следующие суммы: 189, 320, 287, 264,

$x$ и

$y$ . Чему может быть равно наибольшее возможное значение суммы

${x+y}$ ?
комментарий/решение(2)