5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 7-8 классы

Задача №1. На рисунке изображен лист бумаги размером $40\times30$, внутри которого закрашен серый прямоугольник размером $10\times5$. Мы хотим вырезать серый прямоугольник из листа, используя четыре прямолинейных разреза. Каждым таким разрезом мы режем кусок бумаги от края до края, оставляем себе только часть, содержащую серый прямоугольник, и продолжаем резать уже её. Наша задача состоит в том, чтобы суммарная длина разрезов была как можно меньше. Как достичь этой цели, и какова минимальная суммарная длина разрезов? Укажите соответствующие разрезы и напишите их суммарную длину. Обосновывать ответ не нужно.

комментарий/решение(1)

Задача №2. Выпуклый шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ лежит внутри выпуклого шестиугольника $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$, причем $A_1A_2 \parallel B_1B_2, \, A_2A_3 \parallel B_2B_3, \, \ldots, \, A_6A_1 \parallel B_6B_1.$ Оказалось, что каждый из шестиугольников $A_1B_2A_3B_4A_5B_6$ и $B_1A_2B_3A_4B_5A_6$ является несамопересекающимися. Докажите, что их площади равны.
комментарий/решение(2)

Задача №3. На рисунке изображен параллелограмм $ABCD$. Известно, что $\angle D = 60^\circ, \, AD = 2, \, AB = \sqrt3 + 1.$ Точка $M$ — середина отрезка $AD$. Отрезок $CK$ является биссектрисой угла $C$. Найдите величину угла $CKB$.

комментарий/решение(4)

Задача №4. На плоскости расположена окружность $\omega$. Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются $\omega$ и лежат внутри неё. Хорда $AB$ окружности $\omega$ касается обеих окружностей, причем окружности лежат по разные стороны относительно хорды. Докажите, что $\angle O_1AO_2 + \angle O_1BO_2 > 90^\circ$.
комментарий/решение

Задача №5. На плоскости расположено несколько попарно непересекающихся отрезков (отрезки не пересекаются даже в вершинах). Будем говорить, что отрезок $AB$ разбивает отрезок $CD$, если продолжение отрезка $AB$ пересекает отрезок $CD$ в некоторой точке, отличной от точек $C$ и $D$.

а) Возможно ли такое расположение отрезков, что каждый отрезок, продолженный в обе стороны, разбивает ровно один отрезок с каждой из сторон?

b) Назовем отрезок окружённым, если в каждой полуплоскости относительно него найдётся ровно один отрезок, который его разбивает (например, отрезок $AB$ на рисунке является окружённым). Возможно ли такое расположение отрезков, при котором каждый отрезок окружён?

комментарий/решение