5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 7-8 классы

Задача №1. На рисунке изображен лист бумаги размером

$40\times30$ , внутри которого закрашен серый прямоугольник размером

$10\times5$ . Мы хотим вырезать серый прямоугольник из листа, используя четыре прямолинейных разреза. Каждым таким разрезом мы режем кусок бумаги от края до края, оставляем себе только часть, содержащую серый прямоугольник, и продолжаем резать уже её. Наша задача состоит в том, чтобы суммарная длина разрезов была как можно меньше. Как достичь этой цели, и какова минимальная суммарная длина разрезов? Укажите соответствующие разрезы и напишите их суммарную длину. Обосновывать ответ не нужно.

комментарий/решение(1)

Задача №2. Выпуклый шестиугольник

$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ лежит внутри выпуклого шестиугольника

$B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ , причем

$A_1A_2 \parallel B_1B_2, \, A_2A_3 \parallel B_2B_3, \, \ldots, \, A_6A_1 \parallel B_6B_1.$ Оказалось, что каждый из шестиугольников

$A_1B_2A_3B_4A_5B_6$ и

$B_1A_2B_3A_4B_5A_6$ является несамопересекающимися. Докажите, что их площади равны.
комментарий/решение(2)

Задача №3. На рисунке изображен параллелограмм

$ABCD$ . Известно, что

$\angle D = 60^\circ, \, AD = 2, \, AB = \sqrt3 + 1.$ Точка

$M$ — середина отрезка

$AD$ . Отрезок

$CK$ является биссектрисой угла

$C$ . Найдите величину угла

$CKB$ .

комментарий/решение(4)

Задача №4. На плоскости расположена окружность

$\omega$ . Две окружности с центрами

$O_1$ и

$O_2$ касаются

$\omega$ и лежат внутри неё. Хорда

$AB$ окружности

$\omega$ касается обеих окружностей, причем окружности лежат по разные стороны относительно хорды. Докажите, что

$\angle O_1AO_2 + \angle O_1BO_2 > 90^\circ$ .
комментарий/решение

Задача №5. На плоскости расположено несколько попарно непересекающихся отрезков (отрезки не пересекаются даже в вершинах). Будем говорить, что отрезок

$AB$ разбивает отрезок

$CD$ , если продолжение отрезка

$AB$ пересекает отрезок

$CD$ в некоторой точке, отличной от точек

$C$ и

$D$ .

а) Возможно ли такое расположение отрезков, что каждый отрезок, продолженный в обе стороны, разбивает ровно один отрезок с каждой из сторон?

b) Назовем отрезок окружённым, если в каждой полуплоскости относительно него найдётся ровно один отрезок, который его разбивает (например, отрезок

$AB$ на рисунке является окружённым). Возможно ли такое расположение отрезков, при котором каждый отрезок окружён?

комментарий/решение